如何巧妙求解xln(1+x)的不定积分

游戏攻略2025年06月11日 12:37:1213admin

如何巧妙求解xln(1+x)的不定积分通过分部积分法结合代数变形，xln(1+x)的不定积分可表示为(12)(x²-1)ln(1+x)-(14)x²+(12)x+C。我们这篇文章将逐步展示这个看似复杂积分的求解技巧，并揭示其背后的数学原理

xln1+x的积分怎么求

通过分部积分法结合代数变形，xln(1+x)的不定积分可表示为(1/2)(x²-1)ln(1+x)-(1/4)x²+(1/2)x+C。我们这篇文章将逐步展示这个看似复杂积分的求解技巧，并揭示其背后的数学原理。

核心解法步骤拆解

面对∫xln(1+x)dx这个积分问题，我们在一开始观察被积函数的结构特点。对数函数ln(1+x)与多项式x相乘的形式，暗示着分部积分法的适用性——这正是破解此类积分问题的关键钥匙。

设定u=ln(1+x)，dv=xdx，则du=1/(1+x)dx，v=(1/2)x²。根据分部积分公式∫udv=uv-∫vdu，我们得到： ∫xln(1+x)dx = (1/2)x²ln(1+x) - (1/2)∫x²/(1+x)dx

此时剩下的积分项需要进一步处理，通过多项式长除法将x²/(1+x)改写为(x²-1+1)/(1+x)=x-1+1/(1+x)。这种看似简单的代数变形，实际上是简化计算的决定性步骤。

分解后的积分项变为∫(x-1)dx + ∫1/(1+x)dx = (1/2)x² - x + ln|1+x|。将其代回前式，经过整理后获得最终结果： (1/2)(x²-1)ln(1+x) - (1/4)x² + (1/2)x + C

这个例题完美展现了分部积分法与非整数指数函数结合的威力。值得注意的是，在解决过程中我们实际上运用了“降次”策略——通过分部积分将原问题转化为更低次多项式的积分问题。

换元法在此场景下会导致更复杂的表达式，因为对数函数与多项式耦合使得难以找到简洁的变量替换。而分部积分则天然适合处理两个函数乘积的积分。

对最终结果进行微分验证是最可靠的方法，通过求导应能准确还原原被积函数xln(1+x)，这也是检验积分计算是否正确的黄金标准。

此解法具有普适性，可应用于∫xⁿln(1+x)dx型积分。随着n增大，需要多次应用分部积分，但核心思路保持一致，形成递推求解模式。