如何求解xtan²x的不定积分让解题步骤既简洁又准确通过分部积分法结合三角恒等变换，可将∫xtan²x dx转化为∫x(sec²x-1)dx形式，最终结果为xtanx - ln|cosx| - x²2 + C。下文将逐步拆解这一包含多项式

如何求解xtan²x的不定积分让解题步骤既简洁又准确

通过分部积分法结合三角恒等变换，可将∫xtan²x dx转化为∫x(sec²x-1)dx形式，最终结果为xtanx - ln|cosx| - x²/2 + C。下文将逐步拆解这一包含多项式与三角函数的混合积分问题。

核心解题策略解析

面对x与tan²x的乘积积分，关键在于将tan²x转换为更易处理的表达式。根据三角恒等式tan²x ≡ sec²x - 1，原积分可分解为两个部分：∫xsec²x dx和∫x dx。其中前项适合采用分部积分法，后项则直接套用幂函数积分公式。

分部积分法的关键应用

设置u = x，dv = sec²x dx，则du = dx，v = tanx。根据分部积分公式∫udv = uv - ∫vdu，第一部分积分转化为xtanx - ∫tanx dx。而∫tanx dx正是基本积分结果-ln|cosx|。

完整推导过程演示

1. 恒等变形阶段：∫xtan²x dx = ∫x(sec²x - 1) dx
2. 拆分积分项：= ∫xsec²x dx - ∫x dx
3. 处理第一项：= (xtanx - ∫tanx dx) - x²/2
4. 最终整合：= xtanx - (-ln|cosx|) - x²/2 + C

验证结果的可靠性

对所得结果xtanx + ln|cosx| - x²/2 + C求导，通过导数运算可还原出被积函数xtan²x。这一反向验证过程确保证明了积分结果的正确性，同时揭示了三角函数与多项式组合积分的典型处理方法。

Q&A常见问题

是否有其他恒等变换途径

虽然tan²x也可表示为sin²x/cos²x，但会导致更复杂的分式积分。相较而言，sec²x-1的转换能大幅简化计算流程。

如何处理更高次的tanⁿx积分

当遇到tan³x及以上时，建议采用递推公式或拆分奇数幂次为secxtanx与偶数幂次为(sec²x-1)的组合形式。

复数范围内是否适用此解法

在复数域中需注意对数函数的周期性，此时ln(cosx)应理解为多值函数的主值分支。