如何求解∫(xln(1+x))dx这个看起来有些复杂的积分

游戏攻略2025年06月13日 12:24:2913admin

如何求解∫(xln(1+x))dx这个看起来有些复杂的积分求解∫(xln(1+x))dx需要巧妙地结合分部积分法和代数变形。核心步骤在于将ln(1+x)设为u，xdx设为dv，通过分部积分公式逐步简化。最终结果为(12)(1+x)²ln(

xln1+x的积分怎么求

求解∫(xln(1+x))dx需要巧妙地结合分部积分法和代数变形。核心步骤在于将ln(1+x)设为u，xdx设为dv，通过分部积分公式逐步简化。最终结果为(1/2)(1+x)²ln(1+x)-(1/4)x²-(1/2)x+C。下面将详细解析这一过程。

分部积分法的基本思路

分部积分公式∫udv=uv-∫vdu是这个问题的解题利器。关键在于正确选择u和dv：通常将难以积分的部分设为u，容易微分的部分设为dv。在本题中，对数函数ln(1+x)比多项式x更难积分，我们可以得出结论将其设为u，而xdx自然成为dv。

让我们明确设定：u=ln(1+x)，dv=xdx。接下来需要计算du和v：du=1/(1+x)dx，v=∫xdx=(1/2)x²。将这些代入分部积分公式即可展开计算。

根据设定，分部积分得到：∫xln(1+x)dx=uv-∫vdu=(1/2)x²ln(1+x)-(1/2)∫x²/(1+x)dx。此时我们获得了新的积分项∫x²/(1+x)dx，需要通过多项式长除法进一步简化。

对被积函数x²/(1+x)执行多项式除法：x²=(x²-1)+1=(x-1)(x+1)+1。我们可以得出结论x²/(1+x)=x-1+1/(1+x)。这样可将积分拆分为三部分：∫x²/(1+x)dx=∫(x-1+1/(1+x))dx=∫xdx-∫1dx+∫1/(1+x)dx。

这三项积分都很基础：∫xdx=x²/2，∫1dx=x，∫1/(1+x)dx=ln|1+x|。综合起来得到：(x²/2)-x+ln|1+x|+C。将这个结果带回分部积分公式的剩余部分，整理所有项即得最终答案。

为了确认结果(1/2)(1+x)²ln(1+x)-(1/4)x²-(1/2)x+C的正确性，可对其求导验证是否等于原被积函数xln(1+x)。这个验证过程需要运用乘积法则、链式法则等微分技巧，虽然有些繁琐但确实是确认积分结果的有效方法。

虽然令t=1+x也能简化问题，但会使得对数函数变为ln t而多项式部分变为(t-1)，最终仍需处理tln t的积分，本质上仍需要分部积分法。我们可以得出结论直接使用分部积分法更为高效。

在多项式除法后出现的常数项1/(1+x)的积分必须保留绝对值符号ln|1+x|，但在推导最终结果时，由于1+x在定义域内始终为正，可以简化为ln(1+x)。

理论上可以尝试级数展开或特殊函数表示，但对于这个相对简单的积分而言，分部积分仍然是最高效、最直接的方法。其他方法可能使问题不必要地复杂化。